Bạn có biết gì về hằng đẳng thức bậc 3 không? Đây được biết là một trong những công thức khó xơi trong toán học sơ cấp. Bài viết này Hangdangthuc.com sẽ hướng dẫn cũng như giới thiệu cho các bạn về kiến thức của hằng đẳng thức bậc 3 đó được áp dụng và giải nhanh như thế nào các bài toán hình học và đại số một cách an toàn nhất tại đây nhé!
Hằng đẳng thức đáng nhớ bậc 3
Tổng hợp các công thức hằng đẳng thức đáng nhớ bậc 3
Lập phương của 1 tổng: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Lập phương của 1 hiệu: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Tổng 2 lập phương: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) = (a + b)3 − 3a2b − 3ab2 = (a + b)3 − 3ab(a + b)
Hiệu 2 lập phương: a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) = (a − b)3 + 3a2b − 3ab2 = (a − b)3 + 3ab(a − b)
Lập phương của một tổng 3 số: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)
Tổng 3 lập phương: a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ac)
Các bài tập áp dụng về hằng đẳng thức bậc 3
Lập phương của một tổng
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
Ví du:
(x + 2y)3 = x3 + 3x22y + 3x(2y)2 + (2y)3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3
Lập phương của một hiệu.
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3.
Ví dụ :
a) Tính (2x – 1)3.
b) Viết biểu thức x3– 3x2y + 3xy2– y3 dưới dạng lập phương của một hiệu.
Hướng dẫn:
a) Ta có: (2x – 1)3
= (2x)3 – 3.(2x)2.1 + 3(2x).12 – 13
= 8x3 – 12x2 + 6x – 1
b) Ta có : x3– 3x2y + 3xy2 – y3
= (x)3 – 3.x2.y + 3.x.y2 – y3
= (x – y)3
Tổng hai lập phương
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2).
Chú ý: Ta quy ước A2 – AB + B2 là bình phương thiếu của hiệu A – B.
Ví dụ:
a) Tính 33 + 43.
b) Viết biểu thức ( x + 1 )( x2 – x + 1 ) dưới dạng tổng hai lập phương.
Hướng dẫn:
a) Ta có: 33 + 43= (3 + 4)(32 – 3.4 + 42) = 7.13 = 91.
b) Ta có: (x + 1)(x2 – x + 1) = x3 + 13 = x3 + 1.
Hiệu hai lập phương
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A3 – B3 = (A – B)( A2 + AB + B2).
Chú ý: Ta quy ước A2 + AB + B2 là bình phương thiếu của tổng A + B.
Ví dụ:
a) Tính 63 – 43.
b) Viết biểu thức (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) dưới dạng hiệu hai lập phương
Hướng dẫn:
a) Ta có: 63 – 43 = (6 – 4)(62 + 6.4 + 42) = 2.76 = 152.
b) Ta có : (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) = (x)3 – (2y)3 = x3 – 8y3
Bài tập ví dụ
- a) (1 + x)3 = 13 + 3.12.x + 3.1.x2 + x3 = 1 + 3x + 3x2 + x3
- b) (x − 2)3 = x3 − 3x2.2 + 3.x.22 − 23 = x3 − 6x2 + 12x − 83
- c) 33 + a3 = (3 + a)3 − 3.3.a(3 + a) = (3 + a)3 − 9a(3 + a)
- d) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) = (a − b)3 + 3a2b − 3ab2 = (a − b)3 + 3ab(a − b)
- e) (1 + x + y)3 = 13 + x3 + y3 + 3(1 + x)(1 + y(x + y)
- f) 13 + x3 + y3 − 3.1.x.y = (1 + x + y)(12 + x2 + y2 − x − xy − y)
Kết luận
Trên đây là toàn bộ bài viết chia sẻ Hằng đẳng thức đáng nhớ bậc 3 mà bạn cần nhớ. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn nhớ được những hằng đẳng thức quan trọng từ căn bản tới nâng cao. Chúc bạn học tập hiệu quả.
